連立方程式と二次方程式の解き方

このページでは連立一次方程式の加減法・代入法と、二次方程式の判別式・解の公式を説明します。方程式の計算ツールで係数を入力すると解と途中式を確認できます。

加減法と代入法

2x+3y=12、x−y=1を考えます。加減法では2本目を3倍して3x−3y=3とし、1本目に足すと5x=15、x=3です。x−y=1に戻すとy=2になります。代入法では2本目をx=y+1と変形し、1本目に代入して2(y+1)+3y=12、5y=10からy=2、x=3と求めます。

一般にD=a1b2−a2b1とすると、加減法でDx=c1b2−c2b1、Dy=a1c2−a2c1が得られます。Dが0でなければ、それぞれDで割ると解が出ます。

D=0では両式が同じ条件なら解が無数にあり、矛盾すれば解がありません。x+y=1と2x+2y=2は同じ条件ですが、x+y=1とx+y=2は同時に成立しません。0x+0y=1のような式も矛盾です。

ax²+bx+c=0(a≠0)は平方完成により(2ax+b)²=b²−4acとなります。右辺を判別式Dと呼び、解の公式はx=(−b±√D)/(2a)です。D>0なら異なる実数解が2つ、D=0なら重解が1つ、D<0なら実数の解はありません。実数の平方は負にならないためです。

x²−5x+6=0ではD=1なのでx=2,3。x²−6x+9=0ではD=0なので重解x=3です。x²+x+1=0ではD=−3となり、i²=−1を満たす虚数単位iを使ってx=(−1±√3 i)/2と表せます。

x²−4x+1=0ではx=(4±√12)/2です。√12=√(4×3)=2√3なので、x=2±√3、小数では約3.7321と0.2679になります。平方因子の見つけ方は平方根ツールや素因数分解で確認できます。

係数の0.5は1/2として計算し、答えの分数は約分して分母を正にそろえます。たとえば2x²+3x−2=0の解は1/2と−2です。分数の計算も利用できます。

二次の係数aが0ならbx+c=0としてx=−c/bを求めます。bも0の場合はエラーで案内します。c≠0なら解なし、c=0なら式はすべてのxで成立します。

小数と3/4のような分数に対応します。全角数字と3けた区切りのカンマも使えます。約分後の分子の絶対値と分母は1000000以下にしてください。分母0や空欄は使えません。

プラスとマイナスの両方を表します。2±√3は2+√3と2−√3の2つです。重解は同じ解が重なるため1つだけ表示します。

小数は第5位を四捨五入して第4位まで表示した近似です。正確な値は分数や√の式で確認してください。入力は端末の中だけで計算し、送信しません。